(Chuyên Bắc Ninh – 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn [0;2020] thỏa mãn bất phương trình sau: \( {{16}^{x}}+{{25}^{x}}+{{36}^{x}}\le {{20}^{x}}+{{24}^{x}}+{{30}^{x}} \).

A. 3

B. 2000

C. 1                                   

D. 1000

Đáp án C.

Ta có: \( {{16}^{x}}+{{25}^{x}}+{{36}^{x}}\le {{20}^{x}}+{{24}^{x}}+{{30}^{x}}\)  \( \Leftrightarrow {{4}^{2x}}+{{5}^{2x}}+{{6}^{2x}}\le {{4}^{x}}{{.5}^{x}}+{{4}^{x}}{{.6}^{x}}+{{5}^{x}}{{.6}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow 2\left[ {{\left( {{4}^{x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{6}^{x}} \right)}^{2}} \right]-\left( {{2.4}^{x}}{{.5}^{x}}+{{2.4}^{x}}{{.6}^{x}}+{{2.5}^{x}}{{.6}^{x}} \right)\le 0 \)

\( \Leftrightarrow {{\left( {{4}^{x}}-{{5}^{x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{4}^{x}}-{{6}^{x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{5}^{x}}-{{6}^{x}} \right)}^{2}}\le 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{4}^{x}}-{{5}^{x}}=0 \\& {{4}^{x}}-{{6}^{x}}=0 \\& {{5}^{x}}-{{6}^{x}}=0 \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}=1 \\& {{\left( \frac{4}{6} \right)}^{x}}=1 \\ & {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{x}}=1 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow x=0\in \left[ 0;2020 \right] \)

Vậy có 1 giá trị nguyên của x trong đoạn [0;2020] thỏa mãn bất phương trình.